先日、初めて知って面白いと思ったので。
１．見た目には全く同じ扉が３つあり、
あなたは扉を１つ開けることができる。
２．正解の扉（１つ）を開ければ豪華賞品がもらえる。
３．あなたが扉を選んだ後
（まだ選んだだけで開けてはいないので正解かどうかはわかっていない）
正解を知っている主催者は必ず、
残りの２つの扉のうち、外れである1つを開けて見せてくれる。
４．主催者が外れの扉を見せてくれた後、
あなたは扉を選び直しても構わない。
最初に選んだ扉のままにするか、別の扉に変えるか。
果たして、どちらの方が正解の確率が高いだろうか。
最初少し考えましたが、
それほど悩むことなく自力で正解にたどり着けました。
当時は数学者も巻き込んだ
大論争に発展した問題だったみたいですね。
自分の認識では、
数学者は既知の問題と勘違いして誤答を続けていたみたいです。
この問題の独自性に気付けなかったわけです。
著名な数学者でもそういうことがあるのだから、
算数の問題を解くときも気を付けたいものだなと思いました。
答えは「続きを読む」にしようと思ったのですが
なぜか上手く行かないので普通に下部にあります。
考えてみたいという方はご注意ください。
正直、僕の数学能力は高くないので、
確率の理解も適当な部分があるかもしれませんし、
もし説明がわかりにくかったらご容赦ください。
一応混乱するポイントを意識しているつもりです。
３つの扉をA・B・Cとする。
また、最初に選んだ扉を仮にAとする。
・確率なので、
それぞれのケースを考えて可能性で判断することになります。
・正解する合計の確率は１です。
・Ａが正解かどうかは、
実際に扉を開けるまでわからないので、
絶対に当てる方法はなく、あくまで「確率が高い」ということです。
１．「Aが正解であった場合」
当然ながら選んだ扉を変える必要はなく、変えなければ正解できる。
そして、Aが正解である確率は3分の1。
つまり、変えずに正解できる可能性は3分の１となる。
２．「Ａが正解ではなかった場合」
一方、Aが正解でないとすれば、そのままでは外れるので、
変えた方がいいことは明らか。
ここで、Aが正解でない可能性（ＢかＣが正解）は3分の2。
残りの選択肢であるＢかＣのうち、
不正解のものは既に排除されているので、
残っているものは確実に正解になります。
よって、変えた場合に正解する確率は3分の2。
いかがでしょうか。
変えても変えなくても同じ（当たる確率は2分の1ずつ）
と考えた方もいたのではないでしょうか。
そういう方は
・完全な第三者（正解を知らない人）が扉を開けたのか、
正解を知っている人が狙って外れの扉を開けたのか
という違いに着目されるといいと思います。
前者は、第三者が扉を開け、
3分の1の確率で正解してしまう可能性があります。
そして、BかCが正解の可能性
（A・B・C、３つのうちの２つが残っているので、3分の2）のうち、
第三者が正解を選ぶ確率、外れを選ぶ確率は共に2分の1。
よって、B・Cのいずれか残った方が正解である確率は3分の2×2分の1＝3分の1。
となると、冒頭の解答者は、
「最初に選んだAから変えても変えなくても確率は同じ」ということになります。
一方、後者の場合は正解する可能性は０です。
すると、B・Cが正解の確率は上記と同様に3分の2ですから、
1つ取り除かれた結果残った、B・Cのいずれかが正解の確率は相変わらず3分の2。
（取り除かれたものは絶対に外れですので、正解となる確率は下がりません）
ここが確率的には違うんですよね。
ですので、この場合は最初に選んだAという選択を変更したほうが
期待値は2倍（3分の1→3分の2）になる、というわけです。
いかがでしょうか。
もう少しうまく説明できればいいのですが
よりスマートなものは思いつかないのでこれくらいにしておきます。
